【题目】如图,在△ABC中,已知CA=1,CB=2,∠ACB=60°.
(1)求| |;
(2)已知点D是AB上一点,满足 =λ
,点E是边CB上一点,满足
=λ
. ①当λ=
时,求
;
②是否存在非零实数λ,使得 ⊥
?若存在,求出的λ值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:△ABC中,CA=1,CB=2,∠ACB=60°,
由余弦定理得,
AB2=CA2+CB2﹣2CACBcos∠ACB
=12+22﹣2×1×2×cos60°
=3,
∴AB= ,即|
|=
;
(2)解:①λ= 时,
=
,
=
,
∴D、E分别是BC,AB的中点,
∴ =
+
=
+
,
=
(
+
),
∴
=(
+
)
(
+
)
=
+
+
+
=﹣ ×12+
×1×2×cos120°+
×2×1×cos60°+
×22
= ;
②假设存在非零实数λ,使得 ⊥
,
由 =λ
,得
=λ(
﹣
),
∴ =
+
=
+λ(
﹣
)=λ
+(1﹣λ)
;
又 =λ
,
∴ =
+
=(
﹣
)+λ(﹣
)=(1﹣λ)
﹣
;
∴
=λ(1﹣λ)
﹣λ
+(1﹣λ)2
﹣(1﹣λ)
=4λ(1﹣λ)﹣λ+(1﹣λ)2﹣(1﹣λ)
=﹣3λ2+2λ=0,
解得λ= 或λ=0(不合题意,舍去);
即存在非零实数λ= ,使得
⊥
.
【解析】(1)利用余弦定理求出AB的长即得| |;(2)①λ=
时,D、E分别是BC,AB的中点,求出
、
的数量积即可;②假设存在非零实数λ,使得
⊥
,利用
、
分别表示出
和
,
求出
=0时的λ值即可.
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【题目】已知全集U为R,集合A={x|x2<4},B= (x﹣2)},则下列关系正确的是( )
A.A∪B=R
B.A∪(∪B)=R
C.(∪A)∪B=R
D.A∩(∪B)=A
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【题目】已知函数f(x)=ax2+(a﹣2)x﹣2,a∈R.
(1)若关于x的不等式f(x)≤0的解集为[﹣1,2],求实数a的值;
(2)当a<0时,解关于x的不等式f(x)≤0.
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的最下正周期为π,且点P(
,2)是该函数图象的一个人最高点.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若x∈[﹣ ,0],求函数y=f(x)的值域;
(3)把函数y=f(x)的图线向右平移θ(0<θ< )个单位,得到函数y=g(x)在[0,
]上是单调增函数,求θ的取值范围.
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【题目】葫芦岛市交通局为了解机动车驾驶员对交通法规的知晓情况,对渤海、丰乐、安宁、天正四个社区做分层抽样调查.其中渤海社区有驾驶员96人.若在渤海、丰乐、安宁、天正四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则丰乐、安宁、天正三个社区驾驶员人数是多少( )
A.101
B.808
C.712
D.89
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【题目】在平面直角坐标系中,已知向量 ,
,定点
的坐标为
,点
满足
,曲线
,区域
,曲线
与区域
的交集为两段分离的曲线,则( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】某单位实行休年假制度三年以来,50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示:
根据下表信息解答以下问题:
休假次数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
人数 | 5 | 10 | 20 | 15 |
(1)从该单位任选两名职工,用η表示这两人休年假次数之和,记“函数f(x)=x2﹣ηx﹣1在区间(4,6)上有且只有一个零点”为事件A,求事件A发生的概率P;
(2)从该单位任选两名职工,用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.
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【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明:B1C⊥AB;
(2)若AC⊥AB1 , ∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.
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