Question

【题目】已知函数.

（1）判断函数在区间上零点的个数；

（2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，证明：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）对一切成立.

Answer 1

【答案】（1）两个零点；（2）（I）见解析；（Ⅱ）见解析

【解析】

(1)对求导，利用导数得出函数的单调性，结合零点存在性定理即可得出零点的个数；

(2) （Ⅰ）对函数求导，由(1)得出的范围，进而得到，利用诱导公式即可得出;

（Ⅱ）由（Ⅰ）得出 >>，结合的单调性确定，且，对n为偶数和奇数进行分类讨论，即可得出对一切成立.

（1）

当时，，

在上单调递减，，在上无零点

当时，，在上单调递增，

在上有唯一零点

当时，，上单调递减

，上有唯一零点

综上，函数在区间上有两个零点。

（2）

（I）由（1）知在无极值点；在有极小值点，即为；

在有极大值点，即为，同理可得，在有极小值点，

在有极值点.由得

，，由函数在单调递增，

得，，

由在单调递减得

；

（Ⅱ）同理， >>

由在上单调递减得

，且

当n为偶数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，

即，结论成立；

当n为奇数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，即，结论也成立。

综上，对一切，成立.