Question

（本小题满分12分）

已知直线与椭圆相交于、两点，是线段上的一点，，且点M在直线上，

（1）求椭圆的离心率；

（2）若椭圆的右焦点关于直线的对称点在单位圆上，求椭圆的方程．

 

Answer 1

【答案】

解：设、两点的坐标分别为

（ I）   ；（II）

【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用。

（1）结合已知中直线方程与椭圆方程联立，和设出点A,B的坐标，然后得到关于系数a,b的关系式，然后得到椭圆的方程中比例关系，进而研究其性质。

（2）由上可知，椭圆中b,c关系，然后利用对称性，设出点的坐标，借助于坐标关系式得到椭圆的方程。

解：设、两点的坐标分别为

（ I） 由  得： 

     …………2分

由知是的中点，

点的坐标为       ………………………4分

又点在直线上：  

  

                    …………………6分

（II）由（1）知，设椭圆的右焦点坐标为，

设   关于直线 的对称点为，

则有   解得：       ……………10分

由已知，  ，  .     ………11分

        所求的椭圆的方程为       ……………12分