Question

已知定义在R上的函数f（x）=

-2x-b

2x-a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明．
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数是奇函数，建立方程关系解a，b．（2）利用定义法证明函数的单调性．
（3）利用函数的奇偶性将不等式f（t²-2t）+f（-k）＜0转化为f（t²-2t）＜-f（-k）=f（k），然后利用单调性求k的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=

-2x-b

2x-a

是R上的奇函数，f（0）=0，
即

-1-b

1-a

=0，解得b=-1．
∴f(x)=

-2x+1

2x-a

，
又f（-1）=-f（1），
∴

1-2-1

2-1-a

=-

1-2

2-a

，即

1

1-2a

=

1

2-a

，
∴1-2a=2-a，即a=-1，经检验符合题意．
∴a=-1，b=-1．
（2）由（1）可知f(x)=

1-2x

1+2x

，
设x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

1-2x1

1+2x1

-

1-2x2

1+2x2

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵y=2^x在R单调递增，∴2x2＞2x1＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（3）∵f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，且为奇函数，
∴原不等式f（t²-2t）+f（-k）＜0等价为f（t²-2t）＜-f（-k）=f（k），
∴t²-2t＞k恒成立．
∵y=t²-2t=（t-1）²-1≥-1，
∴k＜-1，
即k的取值范围是k＜-1．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调性和奇偶性的综合应用，利用函数的奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键．