Question

已知f（x）=asin2x+bcos2x（a，b为常数），若对于任意x∈R都有f（x）≥f（

5π

12

），则方程f（x）=0在区间[0，π]内的解为

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：由f（x）≥f（

5π

12

），可知f（

5π

12

）是函数f（x）的最小值，利用辅助角公式求出a，b的关系，然后利用三角函数的图象和性质进求解即可．

解答： 解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin（2x+θ）其中tanθ=

b

a

，
由f（x）≥f（

5π

12

），则f（

5π

12

）是函数f（x）的最小值，
即f（

5π

12

）=-

a2+b2

，
∴f（

5π

12

）=asin?

5π

6

+bcos?

5π

6

=

1

2

a-

3

2

b=-

a2+b2

，
即a-

3

b=-2

a2+b2

，
平方得，a2-2

3

ab+3b2=4a2+4b2，
即3a2+2

3

ab+b2=0，
∴(

3

a+b)2=0，解得b=-

3

a，
∵tanθ=

b

a

=-

3

，不妨设θ=-

π

3

，
则f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin（2x-

π

3

），
由f（x）=

a2+b2

sin（2x-

π

3

）=0，
解得2x-

π

3

=kπ，
即x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∵x∈[0，π]，
∴当k=0时，x=

π

6

，
当k=1时，x=

π

2

+

π

6

=

2π

3

，
故x=

2π

3

或=

π

6

．
故答案为：

π

6

或

2π

3

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的辅助角公式是解决本题的关键，考查学生的计算能力．