已知直线:
.若存在实数
使得一条曲线与直线
有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于
,则称此曲线为直线
的“绝对曲线”.下面给出四条曲线方程:①
;②
;③
;④
;则其中直线
的“绝对曲线”有
( )
A.①④ B.②③ C.②④ D.②③④
D
【解析】
试题分析:由题意直线表示斜率为
且过定点(1,1)的直线.(1)曲线①是由左右两支射线构成:
时,是斜率为2且过点(1,0)的射线;
时,是斜率为-2且过点(1,0)的射线.作图可知:当
,直线
仅与曲线①右支射线有一个交点;当
时,直线
与曲线①无交点;当
时,直线
仅与曲线①左支射线有一个交点.所以直线
与曲线①最多只有一个交点,不符题意,故曲线①不是直线
的“绝对曲线”.(2)因为定点(1,1)在曲线②上,所以直线
与曲线②恒有交点,设曲线②与直线
的两交点为
、
,易知
,联立直线
与曲线②方程,化简得:
.
,.
,从而可知当且仅当
时直线
与曲线②仅一个交点.两边平方,化简得:
.设
,则
,
,且
是连续函数,所以
在(0,2)上有零点,即方程
在(0,2)上有根,且在(0,2)上曲线②与直线
有两个不同的交点.故存在实数
使得曲线②与直线
两个不同交点为端点的线段长度恰好等于
,故曲线②是直线
的“绝对曲线”.(3)曲线③表示圆心在(1,1)且半径为1的圆,它与直线
两个交点为端点的线段长度恒为2,
为2或-2时满足题意,故曲线③是直线
的“绝对曲线”.(4)因为定点(1,1)在曲线④上,所以直线
与曲线④恒有交点,设曲线④与直线
的两交点为
、
,易知
,联立直线
与曲线④方程,化简得:
,
,
,从而可知当且仅当
时直线
与曲线④仅一个交点.两边平方,化简得:
.
,
,
,且
是连续函数,所以
在
上有零点,即方程
在
上有根,且在
上曲线④与直线
有两个不同的交点.故存在实数
使得曲线④与直线
两个交点为端点的线段长度恰好等于
,故曲线④是直线
的“绝对曲线”.
考点:曲线与直线的方程、函数的零点
科目:高中数学 来源: 题型:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
PA |
PB |
PF2 |
3 |
OP |
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科目:高中数学 来源: 题型:
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科目:高中数学 来源: 题型:
e |
e |
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科目:高中数学 来源: 题型:
e |
1 |
4 |
e |
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科目:高中数学 来源:2014届辽宁省高二下学期阶段性测试理科数学试卷 (解析版) 题型:解答题
若存在实常数和
,使得函数
和
对其定义域上的任意实数
分别满足:
和
,则称直线
为
和
的“隔离直线”.已知
,
为自然对数的底数).
(1)求的极值;
(2)函数和
是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.
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