Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），P为椭圆C上任意一点，且cos∠F₁PF₂的最小值为

1

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）动圆x²+y²=t²（

2

＜t＜

3

）与椭圆C相交于A、B、C、D四点，当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的定义，在△PF₁F₂中利用余弦定理算出cos∠F₁PF₂=

4a2-4

2|PF1|•|PF2|

-1．利用基本不等式算出|PF₁|•|PF₂|≤a²，结合a＞1得cos∠F₁PF₂≥1-

2

a2

，从而得到1-

2

a2

=

1

3

，解之得a²=3，进而可得椭圆C的方程；
（2）设A（x₀，y₀），得矩形ABCD的面积S=4|x₀y₀|．利用椭圆方程化简，可得S满足：S²=-

32

3

（x 02-

3

2

）²+24．再利用二次函数的图象与性质加以计算，可得当t=

10

2

时矩形ABCD的面积最大，最大面积为2

6

．

解答：解：（1）因为P是椭圆C上一点，所以|PF₁|+|PF₂|=2a．
在△PF₁F₂中，|F₁F₂|=2，由余弦定理得
cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

4a2-4

2|PF1|•|PF2|

-1．
因为|PF₁|•|PF₂|≤（

|PF 1|+|PF 2|

2

）²=a²，当且仅当|PF₁|=|PF₂|=a时等号成立．
∴由a＞1，可得cos∠F₁PF₂≥

4a2-4

2a2

-1=1-

2

a2

．
∵cos∠F₁PF₂的最小值为

1

3

，∴1-

2

a2

=

1

3

，解之得a²=3．
又∵c=1，∴b²=a²-c²=2，可得椭圆C的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）设A（x₀，y₀），则矩形ABCD的面积S=4|x₀y₀|．
因为

x02

3

+

y02

2

=1，所以y02=2(1-

1

3

x02)．
∴S²=16x₀²y₀²=-

32

3

（x 02-

3

2

）²+24．
∵-

3

＜x₀＜

3

且x₀≠0，∴当x₀²=

3

2

时，S²取得最大值24．
此时y₀²=1，t=

x02+y02

=

10

2

．
即当t=

10

2

时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为2

6

．

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆方程并讨论矩形面积的最大值．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、二次函数的图象与性质、余弦定理解三角形和基本不等式等知识，属于中档题．