Question

【题目】已知有穷数列，，，，．若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列．对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，，将的值添在的最后，然后删除，，这样得到一个项的新数列（约定：一个数也视作数列）．若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，，如此经过次操作后得到的新数列记作．

（1）设，，请写出的所有可能的结果；

（2）求证：对于一个项的数列操作总可以进行次；

（3）设，，，，，，，，，求的可能结果，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；，；，．；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）直接按定义来操作，每次取两个数代入计算即可求出的所有可能的结果；

（2）先通过作差得到每次操作后新数列仍是数列；再根据每次操作中都是增加一项，删除两项即可得到结论；

（3）先定义运算：，并证明这种运算满足交换律和结合律；再结合（2）可知中仅有一项，再按定义先求出，综合即可得到的可能结果．

（1）直接按定义来操作，当取0，时代入计算可得：，；

当取0，时可得，；

当取，时，可得，．

故有如下的三种可能结果：，；，；，．

（2）因为对，，有

且

所以，即每次操作后新数列仍是数列．

又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，

所以对数列每操作一次，项数就减少一项，

所以对项的数列可进行次操作（最后只剩下一项）.

（3）由（2）可知中仅有一项．

对于满足，的实数，定义运算：，

下面证明这种运算满足交换律和结合律．

因为，且，所以，即该运算满足交换律；

因为

且

所以，即该运算满足结合律．

所以中的项与实施的具体操作过程无关，

选择如下操作过程求

由（1）可知；

易知，，，；

所以，0，0，0，0；

易知经过4次操作后剩下一项为．

综上可知：．