【题目】某机构组织语文、数学学科能力竞赛,按照一定比例淘汰后,颁发一二三等奖.现有某考场的两科考试成绩数据统计如下图所示,其中数学科目成绩为二等奖的考生有人.
(Ⅰ)求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数;
(Ⅱ)用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的学生中各抽取人,进行综合素质测试,将他们的综合得分绘成茎叶图,求样本的平均数及方差并进行比较分析;
(Ⅲ)已知本考场的所有考生中,恰有人两科成绩均为一等奖,在至少一科成绩为一等奖的考生中,随机抽取
人进行访谈,求两人两科成绩均为一等奖的概率.
【答案】(Ⅰ)4人;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)由数学成绩为二等奖的考生人数及频率,可求得总人数,再利用对立事件的概率公式求出该考场考生中语文成绩为一等奖的频率,与总人数相乘即可得结果(Ⅱ)分别利用平均值公式与方差公式求出数学和语文二等奖的学生两科成绩的平均值与方差,可得数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高,但是稳定性较差;(Ⅲ)利用列举法求得随机抽取两人的基本事件个数为个,而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共
个,利用古典概型概率公式可得结果.
试题解析:(Ⅰ)由数学成绩为二等奖的考生有人,可得
,所以语文成绩为一等奖的考生
人
(Ⅱ)设数学和语文两科的平均数和方差分别为,
,
,
,
,因为
,
,所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高,但是稳定性较差.
(Ⅲ)两科均为一等奖共有人,仅数学一等奖有
人,仅语文一等奖有
人----9分
设两科成绩都是一等奖的人分别为
,只有数学一科为一等奖的
人分别是
,只有语文一科为一等奖的
人是
,则随机抽取两人的基本事件空间为
,共有
个,而两人两科成绩均为一等奖的基本事件
共
个,所以两人的两科成绩均为一等奖的概率
.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
(
为参数),以平面直角坐标系的原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程,并说明其表示什么轨迹;
(2)若直线的极坐标方程为
,试判断直线
与曲线
的位置关系,若相交,请求出其弦长.
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【题目】已知直线与椭圆
相交于
两点,与
轴,
轴分别相交于点
和点
,且
,点
是点
关于
轴的对称点,
的延长线交椭圆于点
,过点
分别做
轴的垂线,垂足分别为
.
(1) 若椭圆的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点
在椭圆
上,求椭圆
的方程;
(2)当时,若点
平分线段
,求椭圆
的离心率.
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【题目】四棱锥中,
平面ABCD,
,
,BC//AD,已知Q是四边形ABCD内部一点,且二面角
的平面角大小为
,若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为
的两部分,则
=_______.
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【题目】已知椭圆:
的左焦点为
,上顶点为
,长轴长为
,
为直线
:
上的动点,
,
.当
时,
与
重合.
(1)若椭圆的方程;
(2)若直线交椭圆
于
,
两点,若
,求
的值.
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【题目】如图,直三棱柱中,
且
,
是棱
上的动点,
是
的中点.
(1)当是
中点时,求证:
平面
;
(2)在棱上是否存在点
,使得平面
与平面
所成锐二面角为
,若存在,求
的长,若不存在,请说明理由.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线
的参数方程是
(
是参数),圆
的极坐标方程为
.
(1)求圆心的直角坐标;
(2)由直线上的点向圆
引切线,并切线长的最小值.
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