Question

【题目】已知椭圆： 的左焦点为，上顶点为，长轴长为，为直线：上的动点，，.当时，与重合.

（1）若椭圆的方程；

（2）若直线交椭圆于，两点，若，求的值.

Answer 1

【答案】(1)(2) m＝±1

【解析】试题分析：（1）根据题意得到由AF⊥BF得kAF·kBF＝-1，进而求出椭圆方程；（2）由AP⊥AQ得，|AM|2＝|PM|·|QM|，联立直线BM和椭圆得到二次方程，由韦达定理得到|PM|·|QM|的表达式，|AM|2＝2＋，两式相等即可.

解析：

（Ⅰ）依题意得A(0，b)，F(－c，0)，当AB⊥l时，B(－3，b)，

由AF⊥BF得kAF·kBF＝ ·＝－1，又b2＋c2＝6.

解得c＝2，b＝．

所以，椭圆Γ的方程为＋＝1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得A(0，)，依题意，显然m≠0，所以kAM＝－，

又AM⊥BM，所以kBM＝，所以直线BM的方程为y＝ (x－m)，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

y＝ (x－m)与＋＝1联立得(2＋3m2)x2－6m3x＋3m4－12＝0，

x1＋x2＝，x1x2＝．

|PM|·|QM|＝(1＋)|(x1－m)(x2－m)|

＝(1＋)|x1x2－m(x1＋x2)＋m2|

＝(1＋)·

＝，

|AM|2＝2＋m2，

由AP⊥AQ得，|AM|2＝|PM|·|QM|，

所以＝1，解得m＝±1．