Question

【题目】如图所示，矩形中，，平面，，为上的点，且平面.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）由面，可得，所以，由面，可得.

由线面垂直的判定定理可得平面；（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得平面与平面所成角的余弦值.

试题解析：（1）因为面，所以，

又，所以.

因为面，所以.

又，所以面，即平面.

（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为，，，，

设平面的法向量，平面的法向量为，易知，

令，则，故，令，得，，

于是， .

此即平面与平面所成角的余弦值.