【题目】如图,四棱锥中,侧棱
垂直于底面
,
,
,
为
的中点,
平行于
,
平行于面
,
.
(1)求的长;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)取的中点
,连接
、
,由三角形中位线定理,以及线面平行的判定定理可得
平行于
,
平行于
,于是可得
为平行四边形,所以
,
;(2)取
中点
,则
垂直于
,以
点为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立坐标系,平面
法向量为
,利用向量垂直数量积为零,列方程组求得
平面法向量为
,平面
的法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析:(1)取的中点
,连接
、
,
因为平行于
,
平行于
,所以
平行于
,
所以四点共面,
因为平行于面
,面
与面
交与
,所以
平行于
,
所以为平行四边形.
所以,
.
(2取中点
,则
垂直于
,因为
平行于
,所以
垂直于
,于是以
点为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立坐标系,
由垂直于
,
垂直于
,平面
法向量为
,
通过计算得平面的法向量为
.经判断知二面角为钝角,于是其余弦为
.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判断与性质、利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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【题目】据中国日报网报道:2017年11月13日,TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示,中国超算在前五名中占据两席,其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度,某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试,结果如下(数值越小,速度越快,单位是MIPS)
测试1 | 测试2 | 测试3 | 测试4 | 测试5 | 测试6 | 测试7 | 测试8 | 测试9 | 测试10 | 测试11 | 测试12 | |
品牌A | 3 | 6 | 9 | 10 | 4 | 1 | 12 | 17 | 4 | 6 | 6 | 14 |
品牌B | 2 | 8 | 5 | 4 | 2 | 5 | 8 | 15 | 5 | 12 | 10 | 21 |
设分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果,记
(Ⅰ)求数据的众数;
(Ⅱ)从满足的测试中随机抽取两次,求品牌A的测试结果恰好有一次大于品牌B的测试结果的概率;
(Ⅲ)经过了解,前6次测试是打开含有文字和表格的文件,后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据,运用所学的统计知识,对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.
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【题目】抛物线,
,
为抛物线的焦点,
是抛物线上两点,线段
的中垂线交
轴于
,
,
。
(Ⅰ)证明:是
的等差中项;
(Ⅱ)若,
为平行于
轴的直线,其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值,求直线
的方程.
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【题目】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗
(吨)标准煤的几组对照数据:
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(2)已知该厂技改前,100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(1)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
,参考数值:
.
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【题目】如图,直三棱柱中,
且
,
是棱
上的动点,
是
的中点.
(1)当是
中点时,求证:
平面
;
(2)在棱上是否存在点
,使得平面
与平面
所成锐二面角为
,若存在,求
的长,若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在边长为4的菱形中,
,点
分别是边
的中点,
,沿
将
翻折到
,连接
,得到如图所示的五棱锥,且
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求平面与平面
所成二面角的余弦值.
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【题目】【2018安徽江南十校高三3月联考】线段为圆
:
的一条直径,其端点
,
在抛物线
:
上,且
,
两点到抛物线
焦点的距离之和为
.
(I)求直径所在的直线方程;
(II)过点的直线
交抛物线
于
,
两点,抛物线
在
,
处的切线相交于
点,求
面积的最小值.
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【题目】如图,四棱锥中,底面
是直角梯形,
,
,
,侧面
底面
,且
是以
为底的等腰三角形.
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)若四棱锥的体积等于
.问:是否存在过点
的平面
分别交
,
于点
,使得平面
平面
?若存在,求出
的面积;若不存在,请说明理由.
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