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    【题目】如图，直三棱柱中，且，是棱上的动点，是的中点.

    （1）当是中点时，求证：平面；

    （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.

    【答案】（1）见解析；（2）.

    【解析】【试题分析】（1）取中点，连结，利用三角形中位线证得四边形为平行四边形，由此证得线面平行.（2）假设存在这样的点，以点为原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，结合它们所成锐二面角的余弦值，可求得这个点的坐标.

    【试题解析】

    （1）取中点，连结，则∥且.

    因为当为中点时，∥且，

    所以∥且 .

    所以四边形为平行四边形，∥，

    又因为，，

    所以平面；

    （2）假设存在满足条件的点，设.

    以为原点，向量方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系.

    则，，，平面的法向量，

    平面的法向量，，

    解得，所以存在满足条件的点，此时.

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