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    【题目】已知椭圆的右焦点为，原点为，椭圆的动弦过焦点且不垂直于坐标轴，弦的中点为，过且垂直于线段的直线交射线于点．

    （1）证明：点在定直线上；

    （2）当最大时，求的面积．

    【答案】(1)证明见解析；(2).

    【解析】试题分析：（1）设所在直线为，联立方程组，得到，进而得到所在直线方程，再联立方程组，即可得到顶点的坐标．

    （2）由（1）得点的坐标为，求得向量则，利用向量的夹角公式，求解的最小值，得到此时，求得，即可求得三角形的面积．

    试题解析：

    （1）显然椭圆的右焦点的坐标为，

    设所在直线为：，且．

    联立方程组：，得：；

    其中，

    点的坐标为所在直线方程为：．

    所在的直线方程为：，

    联立方程组：，得，

    故点在定直线上；

    （2）由（1）得：由得点的坐标为，且，

    则，

    ，

    （当且仅当不等式取等号），

    若取得最小值时，最大，此时；

    ；

    ；

    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，直三棱柱中，且，是棱上的动点，是的中点.

    （1）当是中点时，求证：平面；

    （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】为了解甲、乙两种产品的质量，从中分别随机抽取了10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），如图所示是测量数据的茎叶图.规定：当产品中的此中元素的含量不小于18毫克时，该产品为优等品.

    （1）试用样品数据估计甲、乙两种产品的优等品率；

    （2）从乙产品抽取的10件样品中随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数的分布列及其数学期望；

    （3）从甲产品抽取的10件样品中有放回地随机抽取3件，也从乙产品抽取的10件样品中有放回地随机抽取3件；抽到的优等品中，记“甲产品恰比乙产品多2件”为事件，求事件的概率.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

    直径/

    58

    59

    61

    62

    63

    64

    65

    66

    67

    68

    69

    70

    71

    73

    合计

    件数

    1

    1

    3

    5

    6

    19

    33

    18

    4

    4

    2

    1

    2

    1

    100

    经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.

    （Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；①；

    ②；③.

    评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.

    （2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.

    （ⅰ）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；

    （ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人.

    （1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？

    （2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求的分布列及数学期望．

    附：，其中．

    参考数据：

    0.50

    0.40

    0.25

    0.15

    0.10

    0.05

    0.455

    0.708

    1.323

    2.072

    2.706

    3.841

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，四棱锥中，底面是直角梯形，,，,侧面底面,且是以为底的等腰三角形.

    （Ⅰ）证明：

    （Ⅱ）若四棱锥的体积等于.问：是否存在过点的平面分别交，于点，使得平面平面？若存在，求出的面积；若不存在，请说明理由.

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    【题目】已知函数.

    (1)讨论的单调性；

    (2)若有两个零点，求的取值范围.

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    【题目】已知点为圆的圆心， 是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足， .

    （1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；

    （2）若斜率为的直线与圆相切，直线与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点， ， 是坐标原点，且时，求的取值范围.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，．

    （1）求证：；

    （2）若分别为的中点，平面，求直线与平面所成角的大小．

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