【题目】如图,四棱锥中,底面,为直角梯形,与相交于点,,,,三棱锥的体积为9.
(1)求的值;
(2)过点的平面平行于平面,与棱,,,分别相交于点,求截面的周长.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).
【解析】【试题分析】(1)利用体积公式列方程可求得.(2)利用面面平行的性质定理可有,利用相似三角形可求得各边长,过点作∥交于,则.所以截面的周长为.
【试题解析】
(Ⅰ)四棱锥中,底面,
为直角梯形,,,
所以,解得.
(Ⅱ)【法一】因为平面,平面平面,,
平面平面,
根据面面平行的性质定理,所以,
同理, 因为,
所以∽,且,
又因为∽,,所以,
同理,,
如图:作,所以,
故四边形为矩形,即, (求长2分,其余三边各1分)
在中,所以
所以截面的周长为.
【法二】因为平面,平面平面,
,平面平面,
所以,同理
因为∥
所以∽,且,
所以,
同理,连接,则有∥,
所以,,所以,同理,,
过点作∥交于,则,
所以截面的周长为.
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【题目】如图1,已知直角梯形ABCD中,,AB//DC,AB⊥AD,E为CD的中点,沿AE把△DAE折起到△PAE的位置(D折后变为P),使得PB=2,如图2.
(Ⅰ)求证:平面PAE⊥平面ABCE;
(Ⅱ)求点B到平面PCE的距离.
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【题目】如图,直三棱柱中,且,是棱上的动点,是的中点.
(1)当是中点时,求证:平面;
(2)在棱上是否存在点,使得平面与平面所成锐二面角为,若存在,求的长,若不存在,请说明理由.
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【题目】在边长为4的菱形中,,点分别是边的中点,,沿将翻折到,连接,得到如图所示的五棱锥,且.
(1)求证:平面平面;
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.
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【题目】已知函数,,.
(Ⅰ)若的图像在处的切线过点,求的值并讨论在上的单调增区间;
(Ⅱ)定义:若直线与曲线、都相切,则我们称直线为曲线、的公切线.若曲线与存在公切线,试求实数的取值范围.
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【题目】【2018安徽江南十校高三3月联考】线段为圆: 的一条直径,其端点, 在抛物线: 上,且, 两点到抛物线焦点的距离之和为.
(I)求直径所在的直线方程;
(II)过点的直线交抛物线于, 两点,抛物线在, 处的切线相交于点,求面积的最小值.
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【题目】为了解甲、乙两种产品的质量,从中分别随机抽取了10件样品,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克),如图所示是测量数据的茎叶图.规定:当产品中的此中元素的含量不小于18毫克时,该产品为优等品.
(1)试用样品数据估计甲、乙两种产品的优等品率;
(2)从乙产品抽取的10件样品中随机抽取3件,求抽到的3件样品中优等品数的分布列及其数学期望;
(3)从甲产品抽取的10件样品中有放回地随机抽取3件,也从乙产品抽取的10件样品中有放回地随机抽取3件;抽到的优等品中,记“甲产品恰比乙产品多2件”为事件,求事件的概率.
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【题目】为评估设备生产某种零件的性能,从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:
直径/ | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
经计算,样本的平均值,标准差,以频率值作为概率的估计值.
(Ⅰ)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行评判(表示相应事件的概率);①;
②;③.
评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁,试判断设备的性能等级.
(2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.
(ⅰ)从设备的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数的数学期望;
(ⅱ)从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数的数学期望.
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【题目】已知点为圆的圆心, 是圆上的动点,点在圆的半径上,且有点和上的点,满足, .
(1)当点在圆上运动时,求点的轨迹方程;
(2)若斜率为的直线与圆相切,直线与(1)中所求点的轨迹交于不同的两点, , 是坐标原点,且时,求的取值范围.
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