Question

【题目】如图1，已知直角梯形ABCD中，，AB//DC，AB⊥AD，E为CD的中点，沿AE把△DAE折起到△PAE的位置（D折后变为P），使得PB=2，如图2．

（Ⅰ）求证：平面PAE⊥平面ABCE；

（Ⅱ）求点B到平面PCE的距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：取的中点，连接，，，可知，为等腰直角三角形，证得，，再由勾股定理证得，即可证明 利用等体积法，即可求点到平面的距离

解析：（Ⅰ）如图，取AE的中点O，连接PO，OB，BE．由于在平面图形中，如题图1，连接BD，BE，易知四边形ABED为正方形， ∴在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，

∴PO⊥AE，OB⊥AE，PO=OB=，

∵PB=2，∴，

∴PO⊥OB

又，∴平面PO⊥平面ABCE，

∵PO平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABCD

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，PO⊥AE，OB⊥AE，，故AE⊥平面POB．

∵PB平面POB，∴AE⊥PB，又BC//AE，∴BC⊥PB．

在Rt△PBC中，

在△PEC中，PE=CE=2，

∴

设点B到平面PCE的距离为d，由，

得