Question

【题目】[2018·石家庄一检]已知函数．

（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；

（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．

Answer 1

【答案】（1） （2）见解析

【解析】试题分析：（1）分别求得和，由点斜式可得切线方程；

（2）由已知条件可得有两个相异实根，，进而再求导可得，结合函数的单调性可得，从而得证.

试题解析：

（1）由已知条件，，当时，，

，当时，，所以所求切线方程为

（2）由已知条件可得有两个相异实根，，

令，则，

1）若，则，单调递增，不可能有两根；

2）若，

令得，可知在上单调递增，在上单调递减，

令解得，

由有，

由有，

从而时函数有两个极值点，

当变化时，，的变化情况如下表

	单调递减		单调递增		单调递减

因为，所以，在区间上单调递增，

．

另解：由已知可得，则，令，

则，可知函数在单调递增，在单调递减，

若有两个根，则可得，

当时， ，

所以在区间上单调递增，

所以．