Question

【题目】已知椭圆：，若椭圆：，则称椭圆与椭圆 “相似”.

（1）求经过点，且与椭圆： “相似”的椭圆的方程；

（2）若，椭圆的离心率为，在椭圆上，过的直线交椭圆于，两点，且.

①若的坐标为，且，求直线的方程；

②若直线，的斜率之积为，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②.

【解析】试题分析：

⑴设椭圆的方程为，结合椭圆过点可得椭圆的方程为.

⑵由题意设椭圆，椭圆，设，

①方法一：联立直线方程与椭圆方程可得，则，，代入椭圆可得，解得，直线的方程为.

方法二：由题意得，则椭圆，，

设，则，联立椭圆方程可得， 则直线的方程为.

②方法一： 由题意得，结合，则，可得：，

整理计算得到关于的方程：，.

方法二：不妨设点在第一象限，直线，与椭圆方程联立可得，则，直线的斜率之积为，计算可得，则，结合，可得，即，.

试题解析：

⑴设椭圆的方程为，代入点得，

所以椭圆的方程为.

⑵因为椭圆的离心率为，故，所以椭圆，

又椭圆与椭圆“相似”，且，所以椭圆，

设，

①方法一：由题意得，所以椭圆，将直线，

代入椭圆得，

解得，故，

所以，

又，即为中点，所以，

代入椭圆得，

即，即，所以，

所以直线的方程为.

方法二：由题意得，所以椭圆，，

设，则，

代入椭圆得，解得，故，

所以，

所以直线的方程为.

②方法一： 由题意得，

，即，

，则，解得，

所以，

则，

，

所以，即，所以.

方法二：不妨设点在第一象限，设直线，代入椭圆，

解得，则，

直线的斜率之积为，则直线，代入椭圆，

解得，则，

，则，解得，

所以，

则，

，

所以，

即，即，所以.