Question

【题目】如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，两点．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，，过P、作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若，求圆Q的标准方程．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).

【解析】试题分析：（1）先将点坐标代入椭圆方程，再与离心率联立方程组解得a,b，（2）根据题意得点P是椭圆上到点的距离最小的点，因此先建立椭圆上任意一点到Q距离的函数关系式，根据二次函数性质确定最小值取法得，再根据得P点纵坐标，最后根据P点在椭圆上解得，即得圆Q的标准方程．

试题解析：（Ⅰ）由题意知，在椭圆上，

则，从而

由，得，从而．

故该椭圆的标准方程为

（Ⅱ）由椭圆的对称性，可设．

又设是椭圆上任意一点，则

设，由题意知，点P是椭圆上到点Q的距离最小的点，

因此，上式当时取最小值．

又因为，∴上式当时取最小值，

从而，且．因为，且，

∴，即

由椭圆方程及，得，

解得，从而．

故这样的圆有两个，其标准方程分别为