【题目】已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点
处的切线方程;
(Ⅱ)求证:“”是“函数
有且只有一个零点” 的充分必要条件.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)根据切线的几何意义得到切线的斜率,
,所以切线方程为
;(2)先证充分性再证必要性,含参讨论,函数图像和x轴的交点情况。
解析:
(Ⅰ)依题意,
所以切线的斜率
又因为,所以切线方程为
.
(Ⅱ)先证不必要性.
当时,
,令
,解得
.
此时, 有且只有一个零点,故“
有且只有一个零点则
”不成立.
再证充分性.
方法一:
当时,
.
令,解得
.
(i)当,即
时,
,
所以在
上单调增.
又,
所以有且只有一个零点.
(ii)当,即
时,
,
随
的变化情况如下:
0 | |||||
0 | 0 | ||||
极大值 | 极小值 |
当时,
,
,所以
又
所以有且只有一个零点.
(iii)当,即
时,
,
随
的变化情况如下:
0 | |||||
0 | 0 | ||||
极大值 | 极小值 |
因为,所以
时,
令,则
.
下面证明当时,
.
设,则
.
当时,
在
上单调递增;
当时,
在
上单调递减
所以当时,
取得极大值
.
所以当时,
, 即
.
所以.
由零点存在定理, 有且只有一个零点.
综上, 是函数
有且只有一个零点的充分不必要条件.
方法二:
当时,注意到
时,
,
,
,
因此只需要考察上的函数零点.
(i)当,即
时,
时,
,
单调递增.
又
有且只有一个零点.
(ii)当,即
时,以下同方法一.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线在第一象限内的点
到焦点
的距离为
.
(1)若,过点
,
的直线
与抛物线相交于另一点
,求
的值;
(2)若直线与抛物线
相交于
两点,与圆
相交于
两点,
为坐标原点,
,试问:是否存在实数
,使得
的长为定值?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处,极轴与
轴的非负半轴重合,且长度单位相同,直线
的极坐标方程为
,曲线
(
为参数).其中
.
(1)试写出直线的直角坐标方程及曲线
的普通方程;
(2)若点为曲线
上的动点,求点
到直线
距离的最大值.
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【题目】随着“互联网+交通”模式的迅猛发展,“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度,随机调查了40个用户,得到用户的满意度评分如下:
用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本,且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.
(1)请你列出抽到的10个样本的评分数据;
(2)计算所抽到的10个样本的均值和方差
;
(3)在(2)条件下,若用户的满意度评分在之间,则满意度等级为“
级”.试应用样本估计总体的思想,估计该地区满意度等级为“
级”的用户所占的百分比是多少?(精确到
)
参考数据:.
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【题目】已知椭圆:
,若椭圆
:
,则称椭圆
与椭圆
“相似”.
(1)求经过点,且与椭圆
:
“相似”的椭圆
的方程;
(2)若,椭圆
的离心率为
,
在椭圆
上,过
的直线
交椭圆
于
,
两点,且
.
①若的坐标为
,且
,求直线
的方程;
②若直线,
的斜率之积为
,求实数
的值.
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【题目】某组织在某市征集志愿者参加志愿活动,现随机抽出60名男生和40名女生共100人进行调查,统计出100名市民中愿意参加志愿活动和不愿意参加志愿活动的男女生比例情况,具体数据如图所示.
(1)根据条件完成下列列联表,并判断是否有
的把握认为愿意参与志愿活动与性别有关?
愿意 | 不愿意 | 总计 | |
男生 | |||
女生 | |||
总计 |
(2)现用分层抽样的方法从愿意参加志愿活动的市民中选取7名志愿者,再从中抽取2人作为队长,求抽取的2人至少有一名女生的概率.
参考数据及公式:
.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系
取相同的长度单位,且以原点
为极点,以
轴非负半轴为极轴)中,直线
的方程为
.
(1)求曲线的普通方程及直线
的直角坐标方程;
(2)设是曲线
上的任意一点,求点
到直线
的距离的最大值.
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【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:千元)对年销售量
(单位:
)和年利润
(单位:千元)的影响,对近13年的宣传费
和年销售量
数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
由散点图知,按建立
关于
的回归方程是合理的.令
,则
,经计算得如下数据:
| |||||
10.15 | 109.94 | 0.16 | -2.10 | 0.21 | 21.22 |
(1)根据以上信息,建立关于
的回归方程;
(2)已知这种产品的年利润与
的关系为
.根据(1)的结果,求当年宣传费
时,年利润的预报值是多少?
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.
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