【题目】已知函数,
,
.
(Ⅰ)若的图像在
处的切线过点
,求
的值并讨论
在
上的单调增区间;
(Ⅱ)定义:若直线与曲线
、
都相切,则我们称直线
为曲线
、
的公切线.若曲线
与
存在公切线,试求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】【试题分析】(I)求出函数在
处的切线方程,代入点
求得
的值.求出
的表达式,对
求导后对
分类讨论,由此求得函数的单调区间.(II)由
出发,设出其切点的横坐标,求得切线方程,同理求得
的切线方程,联立这两条切线方程可求得
的表达式,构造函数,利用导数证得
有解,从而证得存在共切线.
【试题解析】
(Ⅰ)由,得
.又
,
故在的切线方程为
.带入
,得
.从而,
,
.
①当时,
,
.故
的单调增区间为
;
②当,即
时,
,
.故
的单调增区间为
;
③当,即
时,由
得
,故
的单调增区间为
.
综上,当时,
的单调增区间为
;当
时,
的单调增区间为
.
(Ⅱ)设的切点横坐标为
,
,
切线方程为……①
设的切点横坐标为
,
,
切线方程为……②
联立①②,得,消去
得
.
考虑函数,
.
令,得
或
.
当或
时,
,函数
在区间
,
上单调递减,当
且
时,
,函数
在区间
,
上单调递增.
,
.故当
时,方程
有解,
从而,函数与
存在公切线.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)在极坐标系下,设曲线与射线
和射线
分别交于
,
两点,求
的面积;
(2)在直角坐标系下,直线的参数方程为
(
为参数),直线
与曲线
相交于
,
两点,求
的值.
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【题目】【2018甘肃兰州市高三一诊】已知圆:
,过
且与圆
相切的动圆圆心为
.
(I)求点的轨迹
的方程;
(II)设过点的直线
交曲线
于
,
两点,过点
的直线
交曲线
于
,
两点,且
,垂足为
(
,
,
,
为不同的四个点).
①设,证明:
;
②求四边形的面积的最小值.
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【题目】在北上广深等十余大中城市,一款叫“一度用车”的共享汽车给市民们提供了一种新型的出行方式.2020年,怀化也将出现共享汽车,用户每次租车时按行驶里程(1元/公里)加用车时间(0.1元/分钟)收费,李先生家离上班地点10公里,每天租用共享汽车上下班,由于堵车因素,每次路上开车花费的时间是一个随机变量,根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下:
时间(分钟) | |||||
次数 | 8 | 14 | 8 | 8 | 2 |
以各时间段发生的频率视为概率,假设每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为分钟.
(Ⅰ)若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟,便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择,设是4次使用共享汽车中最优选择的次数,求
的分布列和期望;
(Ⅱ)若李先生每天上下班使用共享汽车2次,一个月(以20天计算)平均用车费用大约是多少(同一时段,用该区间的中点值作代表).
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【题目】如图,四棱锥中,
底面
,
为直角梯形,
与
相交于点
,
,
,
,三棱锥
的体积为9.
(1)求的值;
(2)过点的平面
平行于平面
,
与棱
,
,
,
分别相交于点
,求截面
的周长.
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【题目】
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程是
(
为参数,
),在以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程是
,等边
的顶点都在
上,且点
,
,
依逆时针次序排列,点
的极坐标为
.
(1)求点,
,
的直角坐标;
(2)设为
上任意一点,求点
到直线
距离的取值范围.
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【题目】2017年12月,针对国内天然气供应紧张的问题,某市政府及时安排部署,加气站采取了紧急限气措施,全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况,对该地区某些年份天然气需求量进行了统计,并绘制了相应的折线图.
(Ⅰ)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合年度天然气需示量 (单位:千万立方米)与年份
(单位:年)之间的关系.并且已知
关于
的线性回归方程是
,试确定
的值,并预测2018年该地区的天然气需求量;
(Ⅱ)政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》,该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定,根据续航里程的不同,将补贴金额划分为三类,A类:每车补贴1万元,B类:每车补贴2.5万元,C类:每车补贴3.4万元.某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计,结果如下表:
类型 |
|
|
|
车辆数目 | 10 | 20 | 30 |
为了制定更合理的补贴方案,政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况,在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本,再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查.若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“”,求
的分布列及期望.
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