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【题目】如图,菱形与四边形相交于平面的中点,.

(1)求证:平面

(2)求直线与平面成角的正弦值.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】试题分析:(1)取的中点,根据三角形中位线性质得,再由线面平行判定定理以及面面平行判定定理得平面平面,最后根据面面平行性质得结论,(2)根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,通过解方程组得面法向量,根据向量数量积求向量夹角,最后根据线面角与向量夹角互余关系求结果.

试题解析:(1)证明:取的中点,连接.

因为为菱形对角线的交点,所以中点.

中点,所以,又平面平面,所以平面.

又因为分别为的中点.

所以,又因为,所以平面平面,所以平面,又平面,所以平面平面.

平面,所以平面.

(2)解:连接.

设菱形的边长,则由,得.

又因为,所以.

则在直角中,,所以.

平面,得平面.

为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,过点与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系,则

.

为平面的一个法向量,

.

,得,所以.

所以.

设直线与平面所成角为,则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

练习册系列答案
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(2)从乙产品抽取的10件样品中随机抽取3件,求抽到的3件样品中优等品数的分布列及其数学期望

(3)从甲产品抽取的10件样品中有放回地随机抽取3件,也从乙产品抽取的10件样品中有放回地随机抽取3件;抽到的优等品中,记“甲产品恰比乙产品多2件”为事件,求事件的概率.

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【题目】已知函数

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【题目】为评估设备生产某种零件的性能,从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:

直径/

58

59

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

73

合计

件数

1

1

3

5

6

19

33

18

4

4

2

1

2

1

100

经计算,样本的平均值,标准差,以频率值作为概率的估计值.

为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行评判(表示相应事件的概率);

.

评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁,试判断设备的性能等级.

2将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.

)从设备的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数的数学期望

)从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数的数学期望.

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【题目】响应“文化强国建设”号召,某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解市民阅读需求,随机抽取市民200人做调查,统计显示,男士喜欢阅读古典文学的有64人,不喜欢的有56人;女士喜欢阅读古典文学的有36人,不喜欢的有44人.

(1)能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系?

(2)为引导市民积极参与阅读,有关部门牵头举办市读书交流会,从这200人中筛选出5名男代表和4名代表,其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会,记为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数,求的分布列及数学期望

附:,其中

参考数据:

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

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(1)讨论的单调性;

(2)若有两个零点,求的取值范围.

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