【题目】如图,菱形与四边形相交于,,平面,,,,为的中点,.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)取的中点,根据三角形中位线性质得,再由线面平行判定定理以及面面平行判定定理得平面平面,最后根据面面平行性质得结论,(2)根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,通过解方程组得面法向量,根据向量数量积求向量夹角,最后根据线面角与向量夹角互余关系求结果.
试题解析:(1)证明:取的中点,连接,.
因为为菱形对角线的交点,所以为中点.
又为中点,所以,又平面,平面,所以平面.
又因为,分别为,的中点.
所以,又因为,所以,平面,平面,所以平面,又,平面,,所以平面平面.
又平面,所以平面.
(2)解:连接.
设菱形的边长,则由,得,.
又因为,所以.
则在直角中,,所以.
由平面,,得平面.
以为坐标原点,分别以,所在直线为轴,轴,过点与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,
则,.
设为平面的一个法向量,
则即.
令,得,所以.
又,
所以.
设直线与平面所成角为,则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆:,圆:.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求,的极坐标方程;
(2)设曲线:(为参数且),与圆,分别交于,,求的最大值.
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【题目】已知函数,,.
(Ⅰ)若的图像在处的切线过点,求的值并讨论在上的单调增区间;
(Ⅱ)定义:若直线与曲线、都相切,则我们称直线为曲线、的公切线.若曲线与存在公切线,试求实数的取值范围.
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【题目】为了解甲、乙两种产品的质量,从中分别随机抽取了10件样品,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克),如图所示是测量数据的茎叶图.规定:当产品中的此中元素的含量不小于18毫克时,该产品为优等品.
(1)试用样品数据估计甲、乙两种产品的优等品率;
(2)从乙产品抽取的10件样品中随机抽取3件,求抽到的3件样品中优等品数的分布列及其数学期望;
(3)从甲产品抽取的10件样品中有放回地随机抽取3件,也从乙产品抽取的10件样品中有放回地随机抽取3件;抽到的优等品中,记“甲产品恰比乙产品多2件”为事件,求事件的概率.
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【题目】为评估设备生产某种零件的性能,从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:
直径/ | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
经计算,样本的平均值,标准差,以频率值作为概率的估计值.
(Ⅰ)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行评判(表示相应事件的概率);①;
②;③.
评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁,试判断设备的性能等级.
(2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.
(ⅰ)从设备的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数的数学期望;
(ⅱ)从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数的数学期望.
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【题目】响应“文化强国建设”号召,某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解市民阅读需求,随机抽取市民200人做调查,统计显示,男士喜欢阅读古典文学的有64人,不喜欢的有56人;女士喜欢阅读古典文学的有36人,不喜欢的有44人.
(1)能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系?
(2)为引导市民积极参与阅读,有关部门牵头举办市读书交流会,从这200人中筛选出5名男代表和4名代表,其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会,记为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数,求的分布列及数学期望.
附:,其中.
参考数据:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 |
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【题目】【2018四川南充市高三第二次(3月)高考适应性考试】已知椭圆的离心率为,点在椭圆上.
(I)求椭圆的方程;
(II)直线平行于为坐标原点),且与椭圆交于两个不同的点,若为钝角,求直线在轴上的截距的取值范围.
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