Question

【题目】已知函数

（1）求证：函数是偶函数；

（2）当求函数在上的最大值和最小值；

（3）若对于任意的实数恒有求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）偶函数；（2）最大值是22，最小值为0；（3）

【解析】试题分析：（1）根据偶函数定义进行证明，首项确定定义域关于原点对称，再证，（2）利用导数求函数在上单调性，根据偶函数得函数在[，]上单调性，最后根据单调性确定函数最值取法，（3）先求导函数的导数，再根据与分类讨论，利用以及进行证明或举反例.

试题解析：（1）函数的定义域为R，

因为，

所以函数是偶函数．

（2）当时，，则，

令，则，所以是增函数，

又，所以，所以在[0，]上是增函数，

又函数是偶函数，

故函数在[，]上的最大值是22，小值为0．

（3），

令，则，

①当时，，所以是增函数，

又，所以，所以在[0，+∞)上是增函数，

而，是偶函数，

故恒成立．

②当时，，所以是减函数，

又，所以，所以在(0，+∞)上是减函数，

而，是偶函数，所以，与矛盾，故舍去．

③当时，必存在唯一(0，)，使得，

因为在[0，]上是增函数，

所以当x(0，x0)时，，即在(0，x0)上是减函数，

又，所以当x(0，x0)时，，，即在(0，x0)上是减函数，

而，所以当x(0，x0)时，，与矛盾，故舍去．

综上，实数a的取值范围是．