Question

【题目】已知数列为单调递增数列，为其前项和，.

（1）求的通项公式；

（2）若，为数列的前项和，证明：.

Answer 1

【答案】(1) an＝n (2)见解析

【解析】试题分析：（1）根据题干中所得给的式子，再写一项两式做差得到an＋1－an＝1，进而求出通项；（2）根据题意得到的通项，进行裂项求和.

解析：

（Ⅰ）当n＝1时，2S1＝2a1＝a＋1，所以(a1－1)2＝0，即a1＝1，

又{an}为单调递增数列，所以an≥1．

由2Sn＝a＋n得2Sn＋1＝a＋n＋1，所以2Sn＋1－2Sn＝a－a＋1，

整理得2an＋1＝a－a＋1，所以a＝(an＋1－1)2．

所以an＝an＋1－1，即an＋1－an＝1，

所以{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n．

（Ⅱ）bn＝＝＝－

所以Tn＝(－)＋(－)＋…＋[－]

＝－＜．