Question

【题目】已知函数（为常数）.

（1）求函数在的最小值；

（2）设是函数的两个零点，且，证明：.

Answer 1

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析函数单调性，根据单调性确定最小值取法，最后代入求最小值，（2）作差函数，利用零点条件化为一元函数，根据导数研究一元函数单调性，确定其最大值小于零，最后根据原函数单调性证得不等式.

试题解析：（1），的定义域为，且，∴

当时，，所以在递增；

当时，，所以在递减，

且，，因，

函数在的最小值为.

由（1）知满足，且，，

，由题意可知

又由（1）可知在递减，故，所以，，

则

令，

则 ，

当时，是减函数，所以

因 ，

即，所以当时，，即

因为，，在上单调递增，所以，故.