【题目】已知动圆与圆相切,且与圆
相内切,记圆心的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设Q为曲线C上的一个不在轴上的动点,O为坐标原点,过点作OQ的平行线交曲线C于M,N两个不同的点, 求△QMN面积的最大值.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)由已知条件推导出|PF1|+|PF2|=8>|F1F2|=6,从而得到圆心P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆,由此能求出圆心P的轨迹C的方程;(2)由MN∥OQ,知△QMN的面积=△OMN的面积,联立直线和椭圆得到二次方程,根据韦达定理和弦长公式得到△的面积
,由此能求出△QMN的面积的最大值.
解析:(Ⅰ)设圆的半径为, 圆心的坐标为,
由于动圆与圆相切,且与圆
相内切,
所以动圆与圆只能内切.
所以
则.
所以圆心的轨迹是以点为焦点的椭圆,
且, 则
.
所以曲线的方程为
.
(Ⅱ)设,直线
的方程为
,
由 可得
,
则.
所以
因为,所以△
的面积等于△
的面积.
点到直线
的距离
.
所以△的面积
.
令,则
,
.
设,则
.
因为, 所以
所以在
上单调递增.
所以当时,
取得最小值, 其值为
.
所以△的面积的最大值为
.
说明: △的面积
.
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【题目】在直角坐标系中,点
的坐标为
,直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,以
轴的非负半轴为极轴,选择相同的单位长度建立极坐标系,圆
极坐标方程为
.
(Ⅰ)当时,求直线
的普通方程和圆
的直角坐标方程;
(Ⅱ)直线与圆
的交点为
、
,证明:
是与
无关的定值.
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【题目】四棱锥中,
平面ABCD,
,
,BC//AD,已知Q是四边形ABCD内部一点,且二面角
的平面角大小为
,若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为
的两部分,则
=_______.
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【题目】已知椭圆:
的左焦点为
,上顶点为
,长轴长为
,
为直线
:
上的动点,
,
.当
时,
与
重合.
(1)若椭圆的方程;
(2)若直线交椭圆
于
,
两点,若
,求
的值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线在平面直角坐标系
下的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程及极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程是
,射线
:
与曲线
交于点
与直线
交于点
,求线段
的长.
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【题目】如图,直三棱柱中,
且
,
是棱
上的动点,
是
的中点.
(1)当是
中点时,求证:
平面
;
(2)在棱上是否存在点
,使得平面
与平面
所成锐二面角为
,若存在,求
的长,若不存在,请说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系
取相同的长度单位,且以原点
为极点,以
轴非负半轴为极轴)中,直线
的方程为
.
(1)求曲线的普通方程及直线
的直角坐标方程;
(2)设是曲线
上的任意一点,求点
到直线
的距离的最大值.
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