【题目】如图,正三棱柱的所有棱长均
,
为棱
(不包括端点)上一动点,
是
的中点.
(Ⅰ)若,求
的长;
(Ⅱ)当在棱
(不包括端点)上运动时,求平面
与平面
的夹角的余弦值的取值范围.
【答案】(Ⅰ)BD=1;(Ⅱ)(,
].
【解析】【试题分析】(I)由得到
平面
,所以
,由于
,所以
平面
,所以
,由此得到
为
的中点,所以
.(I)以
为空间坐标原点建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量来求得它们夹角的余弦值的取值范围.
【试题解析】
证明:(Ⅰ),由AC=BC,AE=BE,知CE⊥AB,
又平面ABC⊥平面ABB1A1,所以CE⊥平面ABB1A1
而AD平面ABB1A1,∴AD⊥CE,又AD⊥A1C所以AD⊥平面A1CE,
所以AD⊥A1E.易知此时D为BB1的中点,故BD=1.
(Ⅱ)以E为原点,EB为x轴,EC为y轴,
过E作垂直于平面ABC的垂线为z轴,
建立空间直角坐标系,设BD=t,
则A(-1,0,0),D(1,0,t),C1(0,,2),
=(2,0,t),
=(1,
,2),设平面ADC1的法向量
=(x,y,z),
则,取x=1,得
,
平面ABC的法向量=(0,01),设平面ADC1与平面ABC的夹角为θ,
∴cosθ==
=
=
由于t∈(0,2),故cosθ∈(,
].
即平面ADC1与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围为(,
].
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为
(
为参数,
),在以坐标原点为极点,
轴非负轴为极轴的极坐标系中,曲线
:
(
为极角).
(1)将曲线化为极坐标方程,当
时,将
化为直角坐标方程;
(2)若曲线与
相交于一点
,求
点的直角坐标使
到定点
的距离最小.
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【题目】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗
(吨)标准煤的几组对照数据:
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(2)已知该厂技改前,100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(1)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
,参考数值:
.
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【题目】在边长为4的菱形中,
,点
分别是边
的中点,
,沿
将
翻折到
,连接
,得到如图所示的五棱锥,且
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求平面与平面
所成二面角的余弦值.
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【题目】某校为了推动数学教学方法的改革,学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班,每班各40人,甲班按原有模式教学,乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验,将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数,两个班学生的平均成绩均在,按照区间
,
,
,
,
进行分组,绘制成如下频率分布直方图,规定不低于80分(百分制)为优秀.
完成表格,并判断是否有以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”;
(2)从乙班,
,
分数段中,按分层抽样随机抽取7名学生座谈,从中选三位同学发言,记来自
发言的人数为随机变量
,求
的分布列和期望.
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【题目】【2018安徽江南十校高三3月联考】线段为圆
:
的一条直径,其端点
,
在抛物线
:
上,且
,
两点到抛物线
焦点的距离之和为
.
(I)求直径所在的直线方程;
(II)过点的直线
交抛物线
于
,
两点,抛物线
在
,
处的切线相交于
点,求
面积的最小值.
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【题目】已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,对于x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,当x1,x2∈[0,2]且x1≠x2时,都有 给出下列四个命题:
①f(﹣2)=0;
②直线x=﹣4是函数y=f(x)的图象的一条对称轴;
③函数y=f(x)在[4,6]上为减函数;
④函数y=f(x)在(﹣8,6]上有四个零点.
其中所有正确命题的序号为_____.
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