Question

已知函数y=f（x）与y=lnx的图象关于x轴对称，且函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线y=x对称
（Ⅰ）求函数y=[1+f(x-1)]-

1

2

的定义域
（Ⅱ）求函数y=ln[g（x）+g（1）]的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由对称变换求出函数y=f（x）的解析式，代入函数y=[1+f(x-1)]-

1

2

整理，然后由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解；
（Ⅱ）利用互为反函数图象间的关系得到函数y=g（x）与y=f（x）互为反函数，求反函数得到g（x）的解析式，代入函数y=ln[g（x）+g（1）]整理，然后求出内层函数的值域，借助于外层函数对数函数的单调性求解函数y=ln[g（x）+g（1）]的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵函数y=f（x）与y=lnx的图象关于x轴对称，∴f（x）=-lnx．
则函数y=[1+f(x-1)]-

1

2

=

1

1-ln(x-1)

．
要使该函数有意义，则需满足

x-1＞0 1-ln(x-1)＞0

⇒

x＞1 x-1＜e

⇒1＜x＜1+e．
故所求函数的定义域为：（1，1+e）；
（Ⅱ）∵函数y=g（x）与f(x)=-lnx=ln

1

e

x 的图象关于直线y=x对称，
则函数y=g（x）是f(x)=ln

1

e

x 的反函数，∴g(x)=(

1

e

)x，
则函数y=ln[g(x)+g(1)]=ln[(

1

e

)x+

1

e

]，令u=(

1

e

)x+

1

e

，
则y=lnu，
∵u=(

1

e

)x+

1

e

＞

1

e

，且y=lnu在(

1

e

，+∞)上是增函数，
∴y＞ln

1

e

=-1，
∴（-1，+∞）为所求的函数值域．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数的值域，训练了函数图象的对称变换，考查了对数函数的反函数的求法，该题求值域的方法是运用符合函数的单调性，是中档题．