Question

13．解不等式：ax²+（a+2）x+1＞0
（1）a=0时；（2）a≠0时．

Answer 1

分析 （1）a=0时，不等式化为2x+1＞0，求出解集即可；
（2）a≠0时，由△＞0，求出不等式对应方程的两个实数根x₁、x₂，讨论a＞0与a＜0，求出不等式的解集．

解答 解：（1）a=0时，不等式ax²+（a+2）x+1＞0化为
2x+1＞0，
解得x＞-$\frac{1}{2}$，
∴不等式的解集为{x|x＞-$\frac{1}{2}$}；
（2）a≠0时，
△=（a+2）²-4a=a²+4＞0，
∴不等式对应的方程的两个根为
x₁=$\frac{-2a-2-\sqrt{{a}^{2}+4}}{2a}$，x₂=$\frac{-a-2+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2a}$；
若a＞0，则x₁＜x₂，
∴不等式的解集为{x|x＜$\frac{-a-2-\sqrt{{a}^{2}+4}}{2a}$或x＞$\frac{-a-2+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2a}$}；
若a＜0，则x₁＞x₂，
∴不等式的解集为{x|$\frac{-a-2+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2a}$＜x＜$\frac{-a-2-\sqrt{{a}^{2}+4}}{2a}$}．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．