Question

已知函数f(x)=x+

2

x

的定义域为（0，+∞）．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求证：|PM||PN|是定值；
（2）判断并说明|PM|+|PN|有最大值还是最小值，并求出此最大值或最小值．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：（1）设点P的坐标为（x₀，y₀），由已知条件得到y0=x0+

2

x0

，由点到直线的距离公式分别求出|PM|，|PN|，由此能证明|PM||PN|为定值．
（2）由（1）结合题设条件，利用均值定理能求出）|PM|+|PN|有最小值2．

解答： 解：（1）证明：设点P的坐标为（x₀，y₀），
∵函数f(x)=x+

2

x

的定义域为（0，+∞）．设点P是函数图象上的任意一点，
∴y0=x0+

2

x0

，x₀＞0，…（2分）
由点到直线的距离公式知|PM|=

|x0-y0|

2

=

1

x0

，|PN|=x₀，…（4分）
∴|PM||PN|=1，即|PM||PN|为定值，这个值为1．…（6分）
（2）|PM|+|PN|有最小值，且最小值为2．…（7分）
∵由（1）知|PM|＞0，|PN|＞0，|PM||PN|=1，…（8分）
∴|PM|+|PN|≥2

|PM||PN|

=2，…（10分）
当且仅当|PM|=|PN|=1，P点在P(1，1+

2

)时，
|PM|+|PN|有最小值2．…（12分）

点评：本题考查两条线段的乘积为定值的证明，考查两条线段和的最小值的求法，解题时要熟练掌握点到直线的距离公式和均值定理的灵活运用，是中档题．