Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），且当x＞1时，f（x）＜0．
①求f（1）的值；
②判断f（x）的单调性；
③若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．

Answer 1

分析：①在f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂）中令x₁=x₂，即可求得f（1）；
②定义法：设x₁＞x₂＞0，则f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），由x＞1时f（x）＜0可判断f（

x1

x2

）的符号，从而可比较f（x₁）与f（x₂）的大小，根据单调性定义即可作出判断；
③由f（3）=-1及f（

9

3

）=f（9）-f（3），可求得f（9）=-2，从而f（|x|）＜-2可化为f（|x|）＜f（9），根据单调性可去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式，解出即可；

解答：解 ①由f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），令x₁=x₂，则f（1）=0；
②设x₁＞x₂＞0，则f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），
因为

x1

x2

＞1，所以f（

x1

x2

）＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上为单调减函数；
③因为f（3）=-1，又f（

9

3

）=f（9）-f（3），即f（9）=2f（3）=-2，
所以f（|x|）＜-2，可化为f（|x|）＜f（9），
又f（x）为（0，+∞）上的单调减函数，
所以|x|＞9，解得x＜-9或x＞9，
所以f（|x|）＜-2的解集为（-∞，9）∪（9，+∞）．

点评：本题考查抽象函数的单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，抽象函数的性质问题常利用定义进行解决，解决抽象不等式的基本思路是利用性质转化为具体不等式处理．