Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值．
（2）判断f（x）的单调性．
（3）若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．

Answer 1

分析：（1）令x₁=x₂＞0，代入可得答案；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，则

x1

x2

＞1，可得f（x₁）＜f（x₂），进而可得函数的单调性；
（3）由题意可得f（9）=-2，故可把不等式化为f（|x|）＜f（9），由函数的单调性可知|x|＞9，解之可得答案．

解答：解：（1）令x₁=x₂＞0，代入原式可得：
f（1）=f（x₁）-f（x₁）=0，
故f（1）的值为0；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，则

x1

x2

＞1，
由于当x＞1时，f（x）＜0，所以f（

x1

x2

）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数；
（3）由f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂）得f（

9

3

）=f（9）-f（3），
因为f（3）=-1，所以f（9）=-2，
所以不等式f（|x|）＜-2可化为f（|x|）＜f（9），
由于函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数，
所以|x|＞9，解得x＞9，或x＜-9，
故不等式的解集为{x|x＞9，或x＜-9}

点评：本题考查函数单调性的判断和证明，涉及函数的求值和绝对值不等式的解集，属基础题．