Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性并予以证明；
（3）若f（3）=-1，解不等式f（log₂x）＞-2．

Answer 1

分析：（1）令x₁=x₂＞0，代入f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)可求出f（1）的值；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＞x₂则

x1

x2

＞1，根据条件可得f（x₁）与f（x₂）的大小关系，最后根据单调性的定义进行判定；
（3）将函数值-2用f（9）表示，然后根据单调性建立不等式，解之即可．

解答：解：（1）令x₁=x₂＞0，代入得f（1）=f（x₁）-f（x₁）=0
∴f（1）=0
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＞x₂则

x1

x2

＞1
∵当x＞1时，f（x）＜0
∴f(

x1

x2

)＜0即f（x₁）-f（x₂）＜0
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．
（3）由f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)，得f（

9

3

）=f（9）-f（3）
而f（3）=-1所以f（9）=-2
由函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数且f（log₂x）＞f（9）
 则0＜log₂x＜9即1＜x＜512
因此不等式的解集为{x|1＜x＜512}

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数的单调性和对数不等式的求解，同时考查了转化的思想，属于中档题．