Question

【题目】已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|．

（1）解不等式f（x）≥6；

（2）记f（x）的最小值是m，正实数a，b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用零点分段讨论法进行求解；（Ⅱ）利用三角不等式求出函数的最值，再利用基本不等式进行求解.

试题解析：（1）当x≤时，f（x）=﹣2﹣4x，

由f（x）≥6解得x≤﹣2，综合得x≤﹣2，…

当时，f（x）=4，显然f（x）≥6不成立，…

当x≥时，f（x）=4x+2，

由f（x）≥6，解得x≥1，综合得x≥1，…

所以f（x）≥6的解集是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．…

（2）f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|≥|（2x﹣1）﹣（2x+3）|=4，

即f（x）的最小值m=4． …

∵a2b≤，…

由2ab+a+2b=4可得4﹣（a+2b）≤，

解得a+2b≥，

∴a+2b的最小值为．…