Question

在△ABC中，记角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若

AB

•

AC

＜0，则下列结论中：
①△ABC是钝角三角形；             ②a²＞b²+c²；
③cosBcosC＞sinBsinC；           ④sinB＞cosC；
其中错误结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：由条件可得∠A 为钝角，故①、②正确；再根据cosA＜0，可得③正确；根据B+C＜

π

2

，正弦函数的单调性、诱导公式可得④不正确，从而得出结论．

解答： 解：△ABC中，∵

AB

•

AC

＜0，则∠A 为钝角，故①、②正确．
再根据cosA=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC＜0，化简可得cosBcosC＞sinBsinC，故③正确．
根据B+C＜

π

2

，可得0＜B＜

π

2

-C＜

π

2

，∴sinB＜sin（

π

2

-C）=cosC，即 sinB＜cosC，故④错误，
故答案为：④．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，诱导公式、两角和的余弦公式，正弦函数的单调性，属于基础题．