Question

已知直线l的参数方程为

x=-1+ 2 2 t y= 2 2 t

（其中t为参数），曲线C₁：ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ-3=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．
（1）求直线l的普通方程及曲线C₁的直角坐标方程；
（2）在曲线C₁上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最大？若存在，求出距离最大值及点P．若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）首先，将直线l中的参数，化为普通方程，曲线的极坐标方程C₁中消去ρ，θ，得到直角坐标方程；
（2）首先，假设存在这样的点，然后，利用点到直线的距离建立等式确定P(

3

2

，-

1

2

)即可．

解答： 解：（1）直线l得：y=x+1，
由曲线C₁得：

x2

3

+y2=1…（5分）
（2）由题意可知C1：

x= 3 cosϕ y=sinϕ

（其中ϕ为参数），…（6分）
∴P到l得距离为d=

| 3 cosϕ-sinϕ+1|

2

=

|2sin(ϕ- π 3 )-1|

2

…（7分）
∴dmax=

3

2

=

3

2

2

，…（8分）
此时sin(ϕ-

π

3

)=-1，
即ϕ-

π

3

=2kπ-

π

2

，ϕ=2kπ-

π

6

…（9分），
∴xp=

3

cosϕ=

3

2

，yp=sinϕ=-

1

2

即P(

3

2

，-

1

2

)．…（10分）
故存在这样的点，满足条件．

点评：本题重点考查极坐标和直角坐标的互化、参数方程和普通方程的互化等知识，