Question

在数列{a_n}中，a₁=3，a_n=

an-1+2

，b_n=a_n-2，n=2，3，
（Ⅰ）求a₂，a₃，判断数列{a_n}的单调性并证明；
（Ⅱ）求证：|a_n-2|＜

1

4

|a_n-1-2|（n=2，3，…）；
（Ⅲ）是否存在常数M，对任意n≥2，有b₂b₃…b_n≤M？若存在，求出M的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由a₁=3，a_n=

an-1+2

，得a2=

5

，a3=

5 +2

，且可知a_n＞0．再由a_n=

an-1+2

，两边平方得an2=an-1+2，进一步得到an+12=an+2，
两式作差可得a_n+1-a_n与a_n-a_n-1同号．由a2-a1=

5

-3＜0易知，a_n-a_n-1＜0，即a_n＜a_n-1，可知数列{a_n}单调递减；
（Ⅱ）由an2=an-1+2，可得，an2-4=an-1-2，（a_n-2）（a_n+2）=a_n-1-2，进一步得到|an-2|=

|an-1-2|

an+2

．由a_n-2与a_n-1-2同号，可得a_n-2＞0，即a_n＞2，可得

1

an+2

＜

1

4

，则|a_n-2|＜

1

4

|a_n-1-2|；
（Ⅲ）由（a_n-2）（a_n+2）=a_n-1-2，得an+2=

an-1-2

an-2

，即bn=

an-1-2

an-2

，累积后由|a_n-2|＜

1

4

|a_n-1-2|，可知|a_n-2|＜

1

4

|a_n-1-2|＜

1

42

|an-2-2|＜

1

43

|an-3-2|＜…＜

1

4n-1

|a1-2|=

1

4n-1

，得

1

|an-2|

＞4n-1，由a_n＞2，得

1

an-2

＞4n-1．结合当n→∞时，4^n-1→∞，说明不存在常数M，对任意n≥2，有b₂b₃…b_n≤M成立．

解答： （Ⅰ）解：由a₁=3，a_n=

an-1+2

，得a2=

5

，a3=

5 +2

，且可知a_n＞0．
由a_n=

an-1+2

，得an2=an-1+2（1），
则有an+12=an+2（2），
由（2）-（1）得：an+12-an2=an-an-1，
（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n与a_n-a_n-1同号．由a2-a1=

5

-3＜0，
易知，a_n-a_n-1＜0，即a_n＜a_n-1，可知数列{a_n}单调递减；

（Ⅱ）证明：由an2=an-1+2，可得，an2-4=an-1-2，（a_n-2）（a_n+2）=a_n-1-2，
∴|an-2|=

|an-1-2|

an+2

．
由（a_n-2）（a_n+2）=a_n-1-2，易知，a_n-2与a_n-1-2同号，
由于a₁-2=3-2＞0，可知，a_n-2＞0，即a_n＞2，
∴a_n+2＞4，∴

1

an+2

＜

1

4

，
∴|a_n-2|＜

1

4

|a_n-1-2|，得证；

（Ⅲ）解：∵（a_n-2）（a_n+2）=a_n-1-2，
∴an+2=

an-1-2

an-2

，即bn=

an-1-2

an-2

，
则b2b3…bn=

a1-2

a2-2

•

a2-2

a3-2

…

an-1-2

an-2

=

a1-2

an-2

=

1

an-2

．
由|a_n-2|＜

1

4

|a_n-1-2|，可知，
|a_n-2|＜

1

4

|a_n-1-2|＜

1

42

|an-2-2|＜

1

43

|an-3-2|＜…＜

1

4n-1

|a1-2|=

1

4n-1

，
∴

1

|an-2|

＞4n-1，
∵a_n＞2，
∴

1

an-2

＞4n-1．
当n→∞时，4^n-1→∞，
故不存在常数M，对任意n≥2，有b₂b₃…b_n≤M成立．

点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了数列递推式，训练了累积法求数列的通项公式，训练了放缩法证明数列不等式，属难题．