Question

已知函数f（x）=

|x|(x+4)

x+2

（x≠-2），下列关于函数g（x）=[f（x）]²-f（x）+a（其中a为常数）的叙述中：①?a＞0，函数g（x）一定有零点；②当a=0时，函数g（x）有5个不同零点；③?a∈R，使得函数g（x）有4个不同零点；④函数g（x）有6个不同零点的充要条件是0＜a＜

1

4

．其中真命题的序号是（　　）

• A、①②③
• B、②③④
• C、②③
• D、①③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：函数f（x）=

|x|(x+4)

x+2

=

x+2- 4 x+2 ，x≥0 4 x+2 -(x+2)，x＜0且x≠-2

，画出图象：下列关于函数g（x）=[f（x）]²-f（x）+a（其中a为常数）的叙述中：
①当△=1-4a＜0，即a＞

1

4

，函数g（x）无有零点；
②当a=0时，由g（x）=0，可得f（x）=0或f（x）=1，结合图象即可判断出函数g（x）有5个不同零点；
③取a=-2，则g（x）=0化为f（x）=2或f（x）=-1，由图象可知：函数g（x）有4个不同零点；
④函数g（x）有6个不同零点?a≥0且△=1-4a＞0?0＜a＜

1

4

．即可判断出．

解答： 解：函数f（x）=

|x|(x+4)

x+2

=

x+2- 4 x+2 ，x≥0 4 x+2 -(x+2)，x＜0且x≠-2

，
画出图象：
下列关于函数g（x）=[f（x）]²-f（x）+a（其中a为常数）的叙述中：
①若△=1-4a＜0，即a＞

1

4

，函数g（x）无有零点；
②当a=0时，g（x）=0，可得f（x）=0或f（x）=1，则函数g（x）有5个不同零点，正确；
③取a=-2，则g（x）=0化为f（x）=2或f（x）=-1，由图象可知：此时使得函数g（x）有4个不同零点，正确；
④函数g（x）有6个不同零点?a≥0且△=1-4a＞0?0＜a＜

1

4

．因此函数g（x）有6个不同零点的充要条件是0＜a＜

1

4

．
综上可得：正确的是②③④．
故选：B．

点评：本题考查了方程的解转化为函数图象的交点，考查了分类讨论思想方法、数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．