Question

求和：4ⁿ+3•4^n-1+3²•4^n-2+…+3^n-1•4+3ⁿ（n∈N^*）=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：S_n=4ⁿ+3•4^n-1+3²•4^n-2+…+3^n-1•4+3ⁿ（n∈N^*），则

4

3

Sn=

4n+1

3

+4ⁿ+3×4^n-1+…+3^n-2×4²+3^n-1×4，错位相减能求出S_n=4ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺¹．

解答： 解：设S_n=4ⁿ+3•4^n-1+3²•4^n-2+…+3^n-1•4+3ⁿ（n∈N^*），
则

4

3

Sn=

4n+1

3

+4ⁿ+3×4^n-1+…+3^n-2×4²+3^n-1×4，
两式相减，得

1

3

Sn=

1

3

×4ⁿ⁺¹-3ⁿ，
∴S_n=4ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺¹．
故答案为：4ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺¹．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．