Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，公比为q．
（1）如果S₆=

189

4

，q=

1

2

，求a₁；
（2）如果S₃=14，a₁=2，求q；
（3）如果a₁+a₃+a₅=21，a₂+a₄+a₈=42，求S_n；
（4）如果S₅=15，S₁₀=60，求S₁₅．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得S6=

a1(1- 1 26 )

1- 1 2

=

189

4

，由此能求出a₁．
（2）由已知得

2(1-q3)

1-q

=14，整理，由此能求出q．
（3）由已知得

a1+a1q2+a1q4=21 a1q+a1q3+a1q5=42

，由此能求出S_n．
（4）等比数列{a_n}中，S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀也成等比数列，由此能求出S₁₅．

解答： 解：（1）∵等比数列{a_n}中，
S₆=

189

4

，q=

1

2

，
∴S6=

a1(1- 1 26 )

1- 1 2

=

189

4

，
解得a₁=24．
（2）等比数列{a_n}中，
∵S₃=14，a₁=2，
∴

2(1-q3)

1-q

=14，整理，得q²+q-6=0，
解得q=-3或q=2；．
（3）等比数列{a_n}中，
∵a₁+a₃+a₅=21，a₂+a₄+a₈=42，
∴

a1+a1q2+a1q4=21 a1q+a1q3+a1q5=42

，
解得a₁=1，q=2，
∴S_n=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．
（4）等比数列{a_n}中，
S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀也成等比数列，
∵S₅=15，S₁₀=60，
∴15，45，S₁₅-60成等比数列，
∴15（S₁₅-60）=45²，
解得S₁₅=195．

点评：本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．