Question

已知等比数列{a_n}的公比q＞1，前n项和为S_n，S₃=7，且a₁+2，2a₂，a₃+1成等差数列，数列{b_n}的前n项和为Tn，6T_n=（3n+1）b_n+2，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）设A={a₁，a₂，…，a₉}，B={b₁，b₂，…，b₃₈}，C=A∪B，求集合C中所有元素之和．

Answer 1

考点：等差数列的性质,数列的应用

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式、前n项和的定义即可得出；
（2）利用集合C中所有元素之和=S₉+T₃₈-85，即可得出．

解答： 解：（1）∵S₃=7，∴a₁+a₂+a₃①
∵a₁+2，2a₂，a₃+1成等差数列，∴a₁+2+a₃+1=4a₂，②
②-①得，a₂=2即a₁q=2③，
又由①得，a1+a1q2=5④
消去a₁得，2q²-5q+2=0，解得q=2或q=

1

2

（舍去）
∴an=2n-1．
当n∈N^*时，6T_n=（3n+1）b_n+2，
当n≥2时，6T_n-1=（3n-2）b_n-1+2
∴当n≥2时，6b_n=（3n+1）b_n-（3n-2）b_n-1，
即

bn

bn-1

=

3n-2

3n-5

．
∴

b2

b1

=

4

1

，

b3

b2

=

7

4

，

b4

b3

=

10

7

，

bn

bn-1

=

3n-2

3n-5

．
∴利用叠乘可得

bn

b1

=

4

1

•

7

4

•

10

7

•…•

3n-2

3n-5

，
∴

bn

b1

=3n-2
∵b₁=1，∴b_n=3n-2（n≥2），
故b_n=3n-2（n∈N^*）．

（2）S₉=

1-29

1-2

=2⁹-1=511，T₃₈=

38×(1+112)

2

=2147．
∵A与B的公共元素有1，4，16，64，其和为85，
∴集合C中所有元素之和=S₉+T₃₈-85=511+2147-85=2573．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n项和的定义等基础知识与基本技能方法，属于中档题．