Question

已知函数f（x）=|x|，g（x）=-|x-4|+m
（Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+2-m＞0；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数的图象,绝对值不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）把函数f（x）=|x|代入g[f（x）]+2-m＞0可得不等式||x|-4|＜2，解此不等式可得解集；
（Ⅱ）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，则f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x-4|+|x|恒成立，只要求|x-4|+|x|的最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）把函数f（x）=|x|代入g[f（x）]+2-m＞0并化简得||x|-4|＜2，
∴-2＜|x|-4＜2，
∴2＜|x|＜6，
故不等式的解集为[-6，-2]∪[2，6]；

（Ⅱ）∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，
∴f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x-4|+|x|恒成立，
∵|x-4|+|x|≥|（x-4）-x|=4，
∴m的取值范围为m＜4．

点评：本题只要考查函数的性质，同时考查不等式的解法，函数与不等式结合时，要注意转化数学思想的运用．