Question

已知数列{a_n}为等差数列，首项a₁=1，公差d≠0．若a_b1，a_b2，a_b3，…，a_bn，…成等比数列，且b₁=1，b₂=2，b₃=5．
（1）求数列{b_n}的通项公式b_n；
（2）设c_n=log₃（2b_n-1），求和T_n=c₁c₂-c₂c₃+c₃c₄-c₄c₅+…+c_2n-1c_2n-c_2nc_2n+1．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得（1+d）²=1×（1+4d），从而d=2，q=3，由此能求出bn=

3n-1+1

2

．
（2）由c_n=log₃（2b_n-1）=n-1，T_n=c₂（c₁-c₃）+c₄（c₃-c₅）+c₆（c₅-c₇）+…+c_2n（c_2n-1-c_2n+1）=-2（c₂+c₄+…+c_2n），能求出T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，首项a₁=1，公差d≠0．
a_b1，a_b2，a_b3，…，a_bn，…成等比数列，且b₁=1，b₂=2，b₃=5．
∴a22=a1•a5，∴（1+d）²=1×（1+4d），
1+2d+d²=1+4d，
解得d=2或d=0（舍），
ab1=a1=1，ab2=3．∴q=3…（3分）
abn=1+(bn-1)×2=2bn-1=1×3n-1，
∴bn=

3n-1+1

2

…（6分）
（2）c_n=log₃（2b_n-1）=n-1…（7分），
T_n=c₂（c₁-c₃）+c₄（c₃-c₅）+c₆（c₅-c₇）+…+c_2n（c_2n-1-c_2n+1）
=-2（c₂+c₄+…+c_2n）
=-2[1+3+5+…+（2n-1）]
=-2n²…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．