Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²，求T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

+

1

anan+1

的通项公式．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由S_n=n²求得首项，再由当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1求出数列的通项公式，代入T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

+

1

anan+1

由裂项相消法求T_n的通项公式．

解答： 解：由S_n=n²，得a₁=S₁=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
当n=1时上式成立，
∴a_n=2n-1；
∴

1

an-1an

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
则T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

+

1

anan+1

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

+

1

5

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

1

2

(1-

1

2n+3

)=

1

2

•

2n+2

2n+3

=

n+1

2n+3

．

点评：本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．