Question

对任意非负实数x，不等式（

x+1

-

x

）•

x

≤a恒成立，则实数a的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：令f（x）=（

x+1

-

x

）•

x

，讨论x=0和x＞0时，运用分离变量法，求得函数f（x）的范围，再由恒成立思想即可得到a的范围和最小值．

解答： 解：令f（x）=（

x+1

-

x

）•

x

，
则f（x）=

x (x+1-x)

x+1 + x

=

x

x + x+1

当x=0时，f（x）=0；
当x≠0时，f（x）=

1

1+ 1+ 1 x

∈（0，

1

2

），
不等式（

x+1

-

x

）•

x

≤a恒成立，
即有a≥

1

2

．
则实数a的最小值为

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值，运用函数的性质求出函数的范围是解题的关键．