Question

已知函数f（x）=

-x2+2x， -2≤x≤0 ln 1 x+1 ， 0＜x≤2

，若g（x）=|f（x）|-ax-a的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（0，

  1

  e

  ）
• B、（0，

  1

  2e

  ）
• C、[

  ln3

  3

  ，

  1

  e

  ）
• D、[

  ln3

  3

  ，

  1

  2e

  ）

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数的图象

专题：数形结合,函数的性质及应用

分析：由题意可得|f（x）|=a（x+1）有3个不同的实根，即有函数y=|f（x）|与y=a（x+1）的图象有3个交点，作出函数y=|f（x）|与y=a（x+1）的图象，考虑直线经过点（2，ln3）和y=ln（x+1）（0＜x≤2）相切的情况，求得a，运用导数的几何意义，即可得到a，进而通过图象观察即可得到所求范围．

解答： 解：g（x）=|f（x）|-ax-a的图象与x轴有3个不同的交点，
则|f（x）|=a（x+1）有3个不同的实根，
即有函数y=|f（x）|与y=a（x+1）的图象有3个交点，
作出函数y=|f（x）|与y=a（x+1）的图象，
当直线经过点（2，ln3）两图象有3个交点，即有a=

ln3

3

；
当直线与y=ln（x+1）（0＜x≤2）相切时，两图象有2个交点．
设切点为（m，n），则切线的斜率为

1

1+m

=a，
又n=a（m+1），n=ln（m+1）．
解得a=

1

e

，m=e-1＜2，
则图象与x轴有3个不同的交点，即有a的取值范围是[

ln3

3

，

1

e

）．
故选C．

点评：本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的图象，以及函数方程的转化，运用数形结合的思想方法是解题的关键．