Question

如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．
（Ⅰ）证明：AD⊥BC
（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A-BD-C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用圆的性质可得AC⊥BC，已知DC⊥平面ABC，可得DC⊥BC，可得BC⊥平面ACD，再利用线面垂直的性质即可得出；
（II）设CD=a，以CB，CA，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由（Ⅰ）可得，AC⊥平面BCD，可得平面BCD的一个法向量是

CA

=(0，2

3

，0)，设

n

=（x，y，z）为平面ABD的一个法向量，利用

n • AB =0 n • AD =0

，即可得出

n

．又二面角A-BD-C所成角θ的正切值是2，可得cosθ=

5

5

.|cos＜

n

，

CA

＞|=cosθ=

| n • CA |

| n || CA |

，解得a．利用V_ABCDE=V_E-ADC+V_E-ABC=

1

3

S△ADC•|ED|+

1

3

S△ABC•|EB|，即可得出．

解答： （Ⅰ）证明：∵AB是圆O的直径，
∴AC⊥BC，
又∵DC⊥平面ABC
∴DC⊥BC，
又AC∩CD=C，
∴BC⊥平面ACD，
又AD?平面ACD，
∴AD⊥BC．
（Ⅱ）解：设CD=a，以CB，CA，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则C（0，0，0），B（2，0，0），A(0，2

3

，0)，D（0，0，a）．
由（Ⅰ）可得，AC⊥平面BCD，
∴平面BCD的一个法向量是

CA

=(0，2

3

，0)，
设

n

=（x，y，z）为平面ABD的一个法向量，
由条件得，

AB

=(2，-2

3

，0)，

AD

=（-2，0，a）．
∴

n • AB =0 n • AD =0

 即

2x-2 3 y=0 -2x+az=0

，
 不妨令x=1，则y=

3

3

，z=

2

a

，
∴

n

=(1，

3

3

，

2

a

)．
又二面角A-BD-C所成角θ的正切值是2，
∴cosθ=

5

5

．
∴|cos＜

n

，

CA

＞|=cosθ=

5

5

，
∴

| n • CA |

| n || CA |

=

|2 3 × 3 3 |

2 3 × 12+( 3 3 )2+( 2 a )2

=

5

5

，解得a=2

3

．
∴V_ABCDE=V_E-ADC+V_E-ABC
=

1

3

S△ADC•|ED|+

1

3

S△ABC•|EB|
=

1

6

×|AC|×|DC|×|ED|+

1

6

×|AC|×|BC|×|EB|
=

1

6

×2

3

×2

3

×2+

1

6

×2

3

×2×2

3

=8．
∴该几何体ABCDE的体积是8．

点评：本题考查了向量相互垂直与数量积的关系证明线面垂直、利用法向量的夹角求出二面角的方法、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．