Question

如图，已知四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，CF∥EA，且EA=

2

AB=2CF=2
（1）求证：EC⊥平面BDF；
（2）求二面角E-BD-F的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以点A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，AB所在直线为y轴，AE所在直线为z轴建立直角坐标系，只要证明

EC

•

BD

=0，

EC

•

BF

=0，即可证明EC⊥平面BDF；
（2）由（1）知向量

EC

为平面BDF的法向量，设平面EBD的法向量为

n

=(x，y，z)，利用

n • BD =0 n • ED =0

，即可得出，再利用向量的夹角公式即可得出．

解答： （1）证明：以点A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，AB所在直线为y轴，AE所在直线为z轴建立直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，

2

，0），D（-

2

，0，0），C（-

2

，

2

，0），F(-

2

，

2

，1)，E（0，0，2），
∴

BD

=(-

2

，-

2

，0)，

BF

=(-

2

，0，1)，

EC

=(-

2

，

2

，-2)，
从而有

EC

•

BD

=0，

EC

•

BF

=0，
∴EC⊥BD，EC⊥BF，
又∵BD∩BF=B，从而EC⊥面BDF．
（2）解：由（1）知向量

EC

为平面BDF的法向量，
设平面EBD的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • BD =0 n • ED =0

，即

- 2 x- 2 y=0 - 2 x-2z=0

；
令z=1得x=-

2

，y=

2

，
故 cos＜

n

，

EC

＞=

n • EC

| n |•| EC |

=

2

2 10

=

10

10

，
∴二面角E-BD-F的余弦值为

10

10

．

点评：本题考查了向量相互垂直与数量积的关系证明线面垂直、利用法向量的夹角求出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．