Question

已知F₁，F₂分别是椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，F₂是抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点，P（

2

3

，m）是C₁与C₂在第一象限的交点，且|PF₂|=

5

3

．
（Ⅰ）求C₁与C₂的方程；
（Ⅱ）过F₂的直线交椭圆于M，N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上．
（i）求

F2M

•

F2N

的取值范围；
（ii）若OT恰好一部分线段MN，证明：TF₂⊥MN．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）根据已知条件建立关系式

2

3

+

P

2

=

5

3

求出P的值，进一步确定抛物线方程．进一步利用

a2-b2=1 ( 2 3 )2 a2 + ( 2 6 3 )2 b2 =1

求得a和b的值，确定椭圆的方程．
（Ⅱ）（i）①若直线的斜率不存在，则MN的直线方程为：x=1．此时M(1，

3

2

)，N（1，-

3

2

）进一步求出

F2M

•

F2N

=-

9

4

②若直线MN的斜率存在，设直线的方程为：y=k（x-1）设交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则：

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

消去y得到：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0利用根和系数的关系进一步利用恒等变形求出-3≤

F2M

•

F2N

＜-

9

4

．
（ii）设线段MN的中点坐标为Q（x_Q，y_Q）由（i）得到：xQ=

x1+x2

2

，yQ=k(xQ-1)=

-3k

4k2+3

所以直线OT的斜率：kOT=

yQ

xQ

=-

3

4k

，进一步求出OT的直线方程为：y=-

3

4k

x，则直线TF₂的斜率为：kTF2=-

1

k

，进一步化简得到；kTF2kMN=-

1

k

•k=-1，从而得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）因为点P（

2

3

，m）在抛物线上，且|PF₂|=

5

3

，抛物线的准线方程为x=-

P

2

，
所以：

2

3

+

P

2

=

5

3

解得：P=2
所以抛物线的方程为：y²=4x
将点P（

2

3

，m）代入y²=4x
解得：m=

2 6

3

，所以P（

2

3

，

2 6

3

）
点P在椭圆上，且椭圆的焦点F₂（1，0），
所以：

a2-b2=1 ( 2 3 )2 a2 + ( 2 6 3 )2 b2 =1

解得：a²=4，b²=3
所以：椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）（i）①若直线的斜率不存在，则MN的直线方程为：x=1．
此时M(1，

3

2

)，N（1，-

3

2

）

F2M

•

F2N

=-

9

4

②若直线MN的斜率存在，设直线的方程为：y=k（x-1）设交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则：

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

消去y得到：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0
x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

所以：

F2M

•

F2N

=(1+k2)[x1x2-（x₁+x₂）+1]
=-

9

4- 1 1+k2

由于k²≥0
所以：0＜

1

1+k2

≤1
3≤4-

1

1+k2

＜4
-3≤

F2M

•

F2N

＜-

9

4

所以

F2M

•

F2N

的取值范围：[-3，-

9

4

)
（ii）证明：设线段MN的中点坐标为Q（x_Q，y_Q）
由（i）得到：xQ=

x1+x2

2

，yQ=k(xQ-1)=

-3k

4k2+3

所以直线OT的斜率：kOT=

yQ

xQ

=-

3

4k

OT的直线方程为：y=-

3

4k

x，
得到：T（4，-

3

k

）
直线TF₂的斜率为：kTF2=-

1

k

所以；kTF2kMN=-

1

k

•k=-1
则：TF₂⊥MN

点评：本题考查的知识要点：抛物线方程和椭圆方程的确定，圆锥曲线和直线方程的关系，一元二次方程根和系数的关系，分类讨论思想在做题中的应用，直线垂直的充要条件的应用．