Question

已知函数f（x）=asinxcosx+bsin²x，x∈R，且f（

π

12

）=

3

-1，f（

π

6

）=1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（

α

2

）=

3

5

，α∈（-π，

π

3

），求sinα的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先根据已知条件建立方程组，解得a和b的值，进一步求出函数的解析式，再对函数关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，在利用整体思想求出函数的单调递增区间．
（Ⅱ）通过函数关系式中角的恒等变换求出函数的值．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=asinxcosx+bsin²x，由关系式建立方程组得：

f( π 12 )= 3 -1 f( π 6 )=1

解得

a=2 3 b=-2

…（2分）
f(x)=2

3

sinxcosx-2sin2x=

3

sin2x+cos2x-1=2sin(2x+

π

6

)-1…（4分）
令：2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
所以f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)…（6分）
（Ⅱ）由f(

α

2

)=

3

5

得sin(α+

π

6

)=

4

5

，…（8分）
α+

π

6

∈(-

5π

6

，

π

2

)，
cos(α+

π

6

)=

3

5

…（10分）
sinα=sin(α+

π

6

-

π

6

)=

3

2

sin(α+

π

6

)-

1

2

cos(α+

π

6

)=

4 3 -3

10

…（12分）

点评：本题考查的知识要点：利用方程组求得a和b的值，进一步求出函数的解析式，利用整体思想求出函数的单调递增区间．角的恒等变换，求三角函数的值．